Лев Кулик родился в Гродно в 1908 году в рабочей семье. В 1914 году семья переехала в Минск. Вскоре отец тяжело заболел. На руках матери осталось семеро детей. Лев Кулик воспитывался в детском доме на улице Революционной.

В 1923 году Кулика направили учиться в школу металлистов. После её окончания он работал строгальщиком на станкостроительном заводе имени Ворошилова. В 1929 году женился на Нехаме Слоущ. В 1930 году у них родилась дочь Эмма, и в 1938 году сын – Рома.

Работая на заводе, зарекомендовал себя на общественной работе, способностью работать с людьми. Это учли партийные органы и предложили ему приобрести специальность врача в связи с недостатком медицинских работников в стране. В 1934 году Лев Кулик был направлен на учёбу в Минский медицинский институт. Он проявлял активность в учёбе, старался практически применить полученные знания. К моменту окончания института он зарекомендовал себя как хороший организатор медицины. И о нём стало известно медицинским специалистам.

После присоединения Западной Беларуси к БССР, он работал главврачом инфекционных больниц в Барановичах и Гродно. Из воспоминаний сына Льва Кулика – Романа Кулика, 1938 г.р.: «Это был человек очень спокойный, рассудительный, умеющий сплотить и организовать людей. Его любили и уважали и коллеги, и партийное руководство».

Война застала семью Льва Кулика в Гродно. С началом войны Лев Кулик оставался в Гродно, так как чувствовал ответственность за свою больницу. В соответствии с организованной эвакуацией больнице выделили две машины, которые добрались до Минска. По стечению обстоятельств в первые дни войны разминулся с семьёй. Жене Нехаме с дочерью Эммой и сыном Романом удалось эвакуироваться.

После оккупации Минска немецкими войсками было организовано гетто, куда насильственно сгонялось еврейское население Минска и близлежащих местечек. При создании гетто немцы решили организовать на его территории инфекционную больницу. Они понимали, что здесь возможны эпидемии, заболевания. Однако вопрос о выборе руководства, ставили на решение самого коллектива. Среди врачей Минского гетто были известные специалисты, но они были подавлены и персонал решил доверить дело Льву Кулику, который был избран специалистами медиками главврачом больницы.

По воспоминаниям очевидцев, в самых опасных ситуациях он был спокоен, собран и не поддавался панике и провокации. Здание больницы размещалось в подходящем месте – на перекрёстке улиц Сухой и Обувной. Она имела выходы на обе эти улицы, а также – на улицу Опанского. Боясь заразных заболеваний, немцы обходили инфекционную больницу стороной.

Именно в здании больницы Гиршем Смоляром было предложено организовать штаб подпольщиков гетто и Минского городского подполья. Лев Кулик пристроил к себе на работу в котельную истопником Гирша Смоляра (руководитель подпольного организационного центра в Минском гетто).
Котельная инфекционной больницы стала местом сбора подпольщиков. Здесь обсуждались важнейшие вопросы: отбор боеспособных людей для отправки в партизанские отряды, сбор оружия и боеприпасов, сбор медикаментов и подготовка медицинских кадров для отправки в партизанские отряды. Большие и важные задачи выполняли медицинские работники под руководством главврача Льва Кулика.

В состав группы медиков гетто входили врачи, средний медперсонал: Мария Кирзон, Дора Альперович, Розалия Лифшиц, Григорий Гордон, Давид Зибицкер и другие. Так как эти врачи работали по санитарной части в гетто, они имели право по пропуску проходить в русский район, где и доставали различные медикаменты, перевязочные материалы, которыми затем снабжали партизан.
С участниками сопротивления гетто поддерживал связь секретарь Минского подпольного горкома партии Исай Павлович Казинец (подпольная кличка «Славка Победит»).

Он также неоднократно бывал в штабе подполья гетто: в условленном месте перелезал через колючую проволоку, его встречали посланцы Смоляра и провожали в кабинет главврача. В больнице скрывались от слежки гестапо руководители геттовского и городского подполья. Самому Льву Кулику, как и другим отважным подпольщикам, к сожалению, не удалось избежать слежки. Он попал в руки гестапо и был казнён в декабре 1942 года.

В 2008 году большая группа подпольщиков гетто, погибших от рук нацистов, по указу министра обороны Республики Беларусь генерал-полковника Л.С. Мальцева была посмертно награждена медалями «60 лет Победы в Великой Отечественной войне 1941–1945». Среди них также Лев Кулик. Награда была торжественно вручена его сыну Роману. 8 июля 2010 года на здании бывшей инфекционной больницы гетто (сейчас в ней расположена «Детская музыкальная школа искусств № 12») была установлена мемориальная доска. На ней написано «У гэтым будынку ў 1941–1943 гадах знаходзiлася бальніца, у якой дзейнiчалi падпольныя антыфашысцкiя групы Мiнскага гета».

В 2017 году вышел короткометражный фильм «Чтобы музыка звучала…», который посвящён сотрудникам больницы Минского гетто. В 2023 году ДМШИ № 12 был разработан культурно-образовательный проект «Струны времени» с целью увековечить память подпольщиков и сотрудников больницы Минского гетто.